สรุปเนื้อหาเรื่อง ความน่าจะเป็น (Probability) คืออะไร
กฎเกณฑ์ที่เกี่ยวข้อง
- กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n1วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี จะทำงานทั้งสองอย่างนี้ได้ n1 n2 วิธี
- กฎข้อที่ 2 ถ้าต้องการทำงานอย่างหนึ่งมี k ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n1วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สองได้ n2 วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานขั้นตอนที่หนึ่งและขั้นตอนที่สองมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สามได้ n3วิธี เช่นนี้ เรื่อยไปจนถึงขั้นตอนสุดท้ายคือ ขั้นตอนที่ k ทำได้ nk วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ n1 n2 n3 … nk วิธี
- กฎข้อที่ 3 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n ! วิธี
- กฎข้อที่ 4 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง เท่ากับ n! / (n-r)! วิธี เมื่อ r £ n
- กฎข้อที่ 5 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ (n – 1) ! วิธี
- กฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่งในจำนวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n2 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง มี n3 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สาม… และมี nk สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ n1 + n2 + n3 … + nk = n แล้ว จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของทั้ง n สิ่ง เท่ากับ n! / n1! n2 ! n3 ! … nk! วิธี
| บทความยอดนิยม
Click CU-TEP คืออะไร สำคัญอย่างไร น้อง ม.ปลาย ควรสอบดีไหม Click ทำไม นักเรียน ม.ปลาย ถึงนิยมสอบ IELTS กัน Click CU-BEST คืออะไร สอบทำไม |
แฟกทอเรียล n (Factorial n)
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n หมายถึง ผลคูณของจำนว เต็มบวกตั้งแต่ 1ถึง n ซึ่ง แฟกทอเรียล n เขียนแทนด้วย n ! โดย n! อ่านว่า แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟกทอเรียล ก็ได้
แต่อย่างไรก็ตาม บทนิยามของ n ! กล่าวเฉพาะ n ที่เป็นจำนวนเต็มบวก แต่ในบางครั้งก็จำเป็นต้องใช้ 0! โดย กำหนดค่าของ 0! จากนิยามได้ดังนี้
วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)
วิธีเรียงสับเปลี่ยน หมายถึง การจัดเรียงอันดับสิ่งของโดยถือเอาอันดับเป็นสำคัญ เช่น การเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร 3 ตัว คือ A, B และ C นำมาจัดเรียงอันดับทั้งหมดได้เป็น ABC, ACB, BAC, CAB, CBA ซึ่งจะเห็นได้ว่า วิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรทั้ง 3 ตัวนี้ มี 6 วิธี
การหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการเรียงสับเปลี่ยนจะนำกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับมาใช้ โดยถือเสมือนว่าการจัดอันดับแต่ละอันดับเป็นการทำงานอย่างหนึ่ง เช่น การจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวข้างต้นเป็นการทำงาน 3 อย่าง คือ
การจัดตัวอักษรในตำแหน่งที่ 1 มี 3 วิธี ( A หรือ B หรือ C ) ในแต่ละวิธีสามารถจัดตัวอักษรใน ตำแหน่งที่ 2 ได้อีก 2 วิธี ( ตัวอักษรที่เหลือ ) และในแต่ละวิธีของการจัดตัวอักษรในตำแหน่งที่ 1 และตำแหน่ง ที่ 2 จะจัดตัวอักษรในตำแหน่งที่ 3 ได้อีก 1 วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดอันดับตัวอักษรที่แตกต่างกัน จึง เท่ากับ 3 * 2 * 1 = 6 วิธี (ตามกฎข้อ 3)
จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง เขียนแทนด้วย P n,r จากกฎข้อที่ 4 จะได้
วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเชิงวงกลม
วิธีเรียงสับเปลี่ยนที่กล่าวมาข้างต้น เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันเป็นแนวเส้นตรงซึ่งมีหัวแถวและท้ายแถว แต่ถ้านำมาเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมจำนวนวิธีจะแตกต่างกันออกไป เพราะการเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมไม่มีหัวแถวและท้ายแถว เช่น วิธีสับเปลี่ยนตัวอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C ถ้าจัดเป็น วงกลม ABC , CBA และ BAC ถ้าจัดเรียงเป็นวงกลมจะได้ 1 วิธี ดังรูป
วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของลักษณะนี้ถือว่า หัวแถวจะตั้งต้นที่ตำแหน่งใดของวงกลมก็ได้ถ้าสิ่งที่เรียงตามมาเหมือนกันถือว่าเป็นการจัดวิธีเดียวกันทั้งสิ้น เพื่อสะดวกในการคิดคำนวณจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง เป็นวงกลม จึงกำหนดให้ของสิ่งหนึ่งอยู่คงที่แล้วจัดสิ่งของที่เหลือ n – 1 สิ่งเรียง สับเปลี่ยนกัน ดังนั้น จะได้จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง เชิงวงกลม เท่ากับ (n-1)(n-2)(n-3)…321 = (n – 1) ! ตามกฎข้อที่ 5
วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด
สิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดหรือสิ่งของที่เหมือนกันเป็นกลุ่ม ๆ เช่น มีธงอยู่ 10 ผืน เป็นธงสีแดง 2 ผืน สีเขียว 3 ผืน และสีเหลือง 5 ผืน ถือได้ว่าเป็นสิ่งของ 3 กลุ่ม ในแต่ล่ะกลุ่มมีสิ่งของที่เหมือนกัน เมื่อนำสิ่งของทั้งหมดมาสับเปลี่ยนกัน สิ่งของที่เหมือนกันจะไม่ทำให้เกิดวิธีใหม่ จำนวนวิธีเรียงสลับเปลี่ยนจึงน้อยกว่าการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
โดยทั่วไปถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่งในจำนวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n2 สิ่งที่เหมือนเป็นกลุ่มที่สอง มี n3 สิ่งที่เหมือนเป็นกลุ่มที่สาม… และมี nk สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ n1 + n2 + n3 … + nk = n ในวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด จะมีวิธีเรียง สับเปลี่ยน n ! วิธี แต่ในกรณีที่มีของเหมือนกันเป็นกลุ่ม ๆ จำนวนวิธีจะน้อยลงไป คือในจำนวน n ! วิธีดังกล่าว จะรวมวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่แตกต่างกันได้ถึง n1! วิธี สำหรับของกลุ่มแรกที่เหมือนกัน และ n2! วิธี สำหรับของกลุ่มที่สองที่เหมือนกัน…และ nk! สำหรับของกลุ่มที่ k ที่เหมือนกัน ดังนั้น จึงมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ สามารถเห็นความแตกต่างกันของสิ่งของทั้ง n สิ่งได้ เท่ากับ n! / n1! n2 ! n3 ! … nk! วิธี (กฎข้อที่ 6)
วิธีจัดหมู่ (Combination)
การจัดหมู่สิ่งของที่แตกต่างกัน เป็นการจัดกลุ่มสิ่งของโดยไม่คำนึงถึงอันดับของสิ่งของนั้น เช่น ตัวอักษร 3 ตัว คือ A, B และ C ถ้านำมาจัดหมู่คราวละ 2 ตัวจะจัดได้ 3 วิธี คือ AB, AC, และ BC แต่ถ้านำมาเรียงสับเปลี่ยนกันคราวละ 2 ตัว จะได้ 6 วิธี คือ AB, BA, AC, CA, BC, และ CB จะเห็นได้ว่าจำนวนวิธีในการ จัดหมู่จะน้อยกว่าจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยน
การทดลองสุ่ม
การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้างแต่ไม่สามารถบอกได้อย่าง ถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านี้ เช่น ในการทอยลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง แต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าอาจจะเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 เรียกการทอด ลูกเต๋าว่า การทดลองสุ่ม เรียกเซตของแต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดว่า แซมเปิลสเปซ หรือปริภูมิตัวอย่าง (sample space) เรียกเซตของแต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าที่ได้จากการทอดแต่ละครั้งว่า เหตุการณ์
แซมเปิลสเปซ หรือปริภูมิตัวอย่าง คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่ อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
เหตุการณ์
“เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ”
ในการทดลองสุ่ม โดยการโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ถ้าให้ H แทนหัวและ T แทนก้อย จะได้ แซมปิลสเปซของการทดลองคือ S = {H, T} ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือ เหรียญขึ้นหัว เราจะเรีย ผลลัพธ์ที่ได้เหรียญขึ้นหัวว่า เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว ให้ E แทนเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว จะได้ E = {H} ซึ่งจะเห็นว่า E เป็น สับเซตของแซมเปิลสเปซ S
ตัวอย่าง : ในการทอดลูกเต๋าลูกเดียวหนึ่งครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือแต้มที่ได้ แซมเปิลสเปซ คือ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว จะได้ E1 = {3, 6}
ถ้า E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มต่ำกว่า 4 จะได้ E2 = {1, 2, 3}
ความน่าจะเป็น เป็นจำนวนที่บอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่สนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด วิธีหนึ่งที่จะหาคำตอบได้ก็คือ ทำการทดลองสุ่มซ้ำหลาย ๆ ครั้ง ยิ่งมากเท่าใดก็จะได้ค่าที่น่าเชื่อถือ แต่วิธีนี้ไม่สามารถบอกได้แน่นอนว่าควรทำมากเท่าใด อีกทั้งการทดลอง สุ่มหลาย ๆ ครั้งยังทำให้เสียเวลามาก เราจึงใช้วิธีหาความน่าจะเป็นโดยใช้การคำนวณจาก อัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ ทั้งนี้ แซมเปิลสเปซที่ ใช้ในการคำนวณนี้ต้องเป็นเซตจำกัดและประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน
ตัวอย่างข้อสอบเรื่อง ความน่าจะเป็น
